Maharashtra Board Class 10 Mathematics Part 1 (Algebra) Question Paper 2024 with Answer Key

समीकरण \( kx^2 - 7x + 12 = 0 \) है और हमें यह दिया गया है कि इसका एक मूल 3 है। इसे हल करने के लिए हम x = 3 को समीकरण में रखें:
\[ k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0 \]
\[ 9k - 21 + 12 = 0 \]
\[ 9k - 9 = 0 \]
\[ 9k = 9 \]
\[ k = 1 \]

तो, \( k = 3 \) है।

समीकरण \( x + 2y = 4 \) और \( y = 1 \) है। \( y = 1 \) को समीकरण में स्थानापन्न करें:
\[ x + 2(1) = 4 \]
\[ x + 2 = 4 \]
\[ x = 4 - 2 \]
\[ x = 2 \]

तो, \( x = 2 \) है।

यहां \( t_7 = 4 \), \( d = -1 \) दिया गया है। अगर हम सामान्य रूप से गुणात्मक श्रेणी (Arithmetic Progression) के सामान्य सूत्र \( t_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करें, तो:
\[ t_7 = a + (7-1)(-1) = 4 \]
\[ a + 6(-1) = 4 \]
\[ a - 6 = 4 \]
\[ a = 4 + 6 \]
\[ a = 10 \]

तो, \( a = 10 \) होगा।

यहां GSTIN के बारे में पूछा गया है। GSTIN 15 अंकों का होता है और यह वाणिज्यिक उद्देश्यों के लिए होता है। इसलिए सही विकल्प (B) है।

समीकरणे \( 17x + 15y = 11 \) आणि \( 15x + 17y = 21 \) आहेत. या समीकरणांना सोडवण्यासाठी, आपण दोन्ही समीकरणे एकत्र करतो.

समीकरण (1): \( 17x + 15y = 11 \)

समीकरण (2): \( 15x + 17y = 21 \)

आता, दोन्ही समीकरणांना एकत्र करून:
\[ 17x + 15y + 15x + 17y = 11 + 21 \]
\[ 32x + 32y = 32 \]
\[ x + y = 1 \]

आता, \( x - y \) काढण्यासाठी:
\[ x - y = 0 \]

तर, \( x - y = 0 \) असे Solution येईल.

समिकरण \( t_n = 3n - 2 \) दिले आहे. पहिले पद काढण्यासाठी, \( n = 1 \) ठेवून:
\[ t_1 = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 \]

तर, पहिले पद \( t_1 = 1 \) असे मिळते.

द्रवाचा दर 2% दिला आहे. तर शेराची द्रव्याची रक्कम काढण्यासाठी:
\[ शेर = 100 \times \frac{2}{100} = 2 रुपये \]

तर, शेराची द्रव्याची रक्कम 2 रुपये असे होईल.

दिलेले अंक 2, 3, आणि 5 यांचा पुनरावृत्ती करून दोन अंकी संख्या तयार केली जाऊ शकते. ही संख्यांची सूची खाली दिली आहे:

संख्या: \( 23, 25, 32, 35, 52, 53 \)

तर, एकूण 6 शक्य संख्याएँ तयार केली जातात.

समीकरण \( 2x + 3y = k \) आहे. आपल्याला \( (0, 2) \) बिंदूची माहिती दिली आहे, म्हणजे \( x = 0 \) आणि \( y = 2 \) आहेत.

आता, या किमती समीकरणात ठेवून \( k \) काढूया:
\[ 2x + 3y = k \]
\[ 2(0) + 3(2) = k \]
\[ 0 + 6 = k \]
\[ k = 6 \]

तर, \( k = 6 \) असे Solution येते.

समजा \( \alpha = 2 \) आणि \( \beta = 5 \) ही वर्गसमिकरणाची मूळ आहेत.

फॉरम्युला वर्गसमिकरण:
\[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \]

मूल्ये ठेवून:
\[ x^2 - (2 + 5)x + 2 \times 5 = 0 \]
\[ x^2 - (7)x + 10 = 0 \]
\[ x^2 - x + 0 = 0 \]

अखेर, समिकरण \( x^2 - x = 0 \) असे आहे.

संच स्वरुपात दिलेल्या घटकांसाठी खालिल Solution पूर्ण करा :
\[ S = \{ HT, TH, TT, HH \} \]

घटना A : कमी एकच हप्ता मिळवणे (HT किंवा TH).
\[ A = \{ HT, TH \} \]

घटना B : एका हप्ता न मिळवणे (TT).
\[ B = \{ TT \} \]

आकृतीमध्ये, ABCD आयत दिला आहे. त्यामध्ये दोन समीकरणे दिली आहेत:
\[ 2x + y + 8 \quad (समीकरण A - AB) \]
\[ x + 4 \quad (समीकरण B - BC) \]
\[ 4x - y \quad (समीकरण C - CD) \]

आता, \( ax + by = c \) या स्वरूपात समीकरण तयार करण्यासाठी, आपण प्रत्येक समीकरणाचे संयोजन करू.
\[ 2x + y + 8 = x + 4 = 4x - y \]

आपल्याला समिकरणाच्या किमती शोधण्यासाठी अधिक माहिती आवश्यक आहे.

समीकरण \( x^2 + x - 20 = 0 \) दिले आहे. या समीकरणाचे सोडवण्यासाठी, आपण क्वाड्राटिक फॉर्म्युला वापरू.

समीकरण आहे: \( ax^2 + bx + c = 0 \)

इथे \( a = 1 \), \( b = 1 \), आणि \( c = -20 \).

क्वाड्राटिक फॉर्म्युला:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(-20)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 9}{2} \]

अशाप्रकारे, \( x = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

आणि दुसरे Solution, \( x = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

तर, \( x = 4 \) आणि \( x = -5 \).

इथे, अंकगणिती श्रेणी दिली आहे: \( 7, 13, 19, 25, \dots \)

सर्वप्रथम, श्रेणीचा सामान्य अंतर \( d = 13 - 7 = 6 \) आहे.

आता, 19वे पद काढण्यासाठी, अंकगणिती श्रेणीचा सामान्य फॉर्म \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) वापरू.
\[ a_{19} = 7 + (19 - 1) \times 6 = 7 + 108 = 115 \]

तर, 19वे पद \( a_{19} = 115 \) आहे.

या प्रश्नात, 52 पंक्ती असलेल्या कॅंटमधून एक पाठ काढला गेला आहे. जर पटा चित्रवृत्त असणे त्याच्या घटनेची संज्ञावता असली, तर याचा अर्थ त्या पंक्तींची संख्या स्थिर असू शकते.

म्हणजेच, याला "चित्रवृत्त असणे" हे गुणात्मक रूपात मांडले जात असले, त्याचा वेगवेगळ्या आकाराचा परिमाण समजला जाऊ शकतो.

सारणीय कामाचे ताप व कर्मचार्यांची संख्या :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline दैनिक कामाचे ताप & कर्मचार्यांची संख्या
\hline 8 - 10 & 150
10 - 12 & 500
12 - 14 & 300
14 - 16 & 50
\hline \end{array} \]

संचित वांछवटा वितरण सारणी तयार करणे:
\[ संचित वितरण = \{ 150, 650, 950, 1000 \} \]

दिलेल्या सारणीतील,
\[ बहुलक वर्ग = \hspace{2cm} \]
\[ \therefore बहुलक = 3.5 + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0} \right) \times h \]
\[ \therefore बहुलक = 3.5 + \left( \frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27} \right) \times 3 \]
\[ \therefore बहुलक = 3.5 + \left( \frac{7}{80 - 60} \right) \times 3 \]
\[ \therefore बहुलक = 3.5 + \left( \frac{7}{20} \right) \times 3 \]
\[ \therefore बहुलक = 3.5 + 1.05 = 4.55 \]

कारची विक्री किंमत (जीएसटीसह) = 2360 रुपये
जीएसटी दर = 18%

समजा कारची खर्चवाट किंमत \( x \) रुपये आहे.
\[ जीएसटी = \frac{18}{100} \times x \]
\[ खर्चवाटीत कारची विक्री किंमत = खर्चवाट किंमत + जीएसटी \]
\[ 2360 = x + \frac{18}{100} \times x \]
\[ 2360 = \frac{118x}{100} \]
\[ 2360 \times 100 = 118x \]
\[ x = \frac{2360 \times 100}{118} \]
\[ x = 2000 \]

तर, कारची खर्चवाट किंमत 2000 रुपये आहे.

समीकरण \( 3m^2 - m - 10 = 0 \) दिले आहे. हे वर्गसमिकरण आहे, त्याचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही क्वाड्राटिक फॉर्म्युला वापरू.

समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) चा फॉर्म्युला आहे: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

इथे, \( a = 3 \), \( b = -1 \), आणि \( c = -10 \). म्हणून, \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-10)}}{2(3)} \]
\[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6} \]
\[ m = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{6} \]
\[ m = \frac{1 \pm 11}{6} \]

तर, \( m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) किंवा \( m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \).

तर, \( m = 2 \) किंवा \( m = -\frac{5}{3} \).

दिलेल्या दोन समीकरणांचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही समीकरण 1 आणि समीकरण 2 यांचे एकत्रीकरण किंवा स्थानापन्न पद्धती वापरू शकतो.

समीकरण (1): \( 3x - 4y = 10 \)

समीकरण (2): \( 4x + 3y = 5 \)

समीकरण 1 आणि 2 ची एकत्रीकरण पद्धती वापरून, आपल्याला \( x \) आणि \( y \) चे मूल्ये मिळवता येतील.

गुंतवणूक किंमत काढण्यासाठी, शेरांचे दर आणि त्यांची संख्या वापरून एकूण गुंतवणूक काढू.
\[ गुंतवणूक किंमत = (50 \times 10) + (25 \times 10) \]
\[ गुंतवणूक किंमत = 500 + 250 = 750 \]

तर, एकूण गुंतवणूक किंमत \( 750 \) रुपये आहे.

लाभांश काढण्यासाठी, कंपनीने दिला 30% लाभांश गुंतवणूक किंमतीवर:
\[ लाभांश = \frac{30}{100} \times 750 = 225 \]

तर, मिळालेला लाभांश \( 225 \) रुपये आहे.

परतावा दर काढण्यासाठी, लाभांश आणि गुंतवणूक किंमत वापरा:
\[ परतावा दर = \frac{लाभांश}{गुंतवणूक किंमत} \times 100 = \frac{225}{750} \times 100 = 30% \]

तर, गुंतवणूकवर प्राप्त परतावा दर \( 30% \) आहे.

नाणे आणि फासा एकाच वेळी फेकले जाते. प्रत्येक परिस्थितीसाठी, नाण्याची दोन स्थिती (छाप किंवा मूल) आणि फासाच्या सहा स्थिती (1, 2, 3, 4, 5, 6) असतात.
घटना A मध्ये, नाणे छाप आणि फासा मूल असे मिळवले पाहिजे.
त्यासाठी एकच सुसंगत स्थिती असू शकते (छाप आणि 1).
\[ संभाव्यता A = \frac{1}{12} \]

घटना B मध्ये, फासाच्या काढाच्या स्थितीसाठी, नाण्याची स्थिती मूल असावी लागेल.

नाणे आणि फासाचे विविध स्थिती विचारले जातात. त्यासाठी दोन स्थिती असू शकतात:
- नाणे मूल आणि फासा काढा.
- नाणे छाप आणि फासा विपरीत.
\[ संभाव्यता B = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

आपल्याला दोन व्यक्तींच्या साहाय्याने टकी पूर्ण भरली जाऊ शकते. 6 तास लागतात. जर 1 व्यक्तीने 5 तास लागले तर, दोन व्यक्तींच्या साहाय्याने 6 तासात टकी पूर्ण भरले जातात.

संचित वांछवटा काढण्यासाठी, आपण प्रत्येक श्रेणीच्या एकत्रित संख्येचे उपयोग करू.

संचित वांछवटा काढण्यासाठी, प्रत्येक वर्गासाठी संख्यांची एकत्रित किंमत लागेल.

महिला वस्त्र घ्यायाचेच जो लाभ काढा \( x \) काढा व Solution करा.

दिली गेलेली किमती \( 20 + 40 + 60 \) वापरून.
\[ गुंतवणूक = 20 + 40 + 60 = 120 \]

फेब्रुवारी 2020 मध्ये जो चिठी परिणाम काढला.

आपल्याला 60 रुपये व तिसऱ्या दिवशी 40 रुपये व चिठी संकलन काढा.
\[ लाभ = 40% \times 120 = 48 रुपये \]

आपल्याला विविध खेळांच्या खर्चाचा प्रमाण दिला आहे. फुटबॉलच्या 9,000 रुपयांतील प्रत्येक विभागाचा खर्च काढा. प्रत्येक विभागाची व्याख्या आहे:

- फुटबॉल = 9,000 ×(उदाहरणांसह).

फूटबॉलच्या खर्च काढण्यासाठी, संपूर्ण 9,000 रु. खर्चाचे पूर्ण तपासणी करा.

आपण दोन अक्षांच्या मदतीने समीकरण काढू शकतो. X आणि Y अक्षाच्या पद्धतीने यांचे समीकरण तयार करा.
नंतर त्यावर आलेख काढून समजा योग्य ठरावा.

आलेख काढल्यावर, त्याचे क्षेत्रफल मिळवण्यासाठी त्या स्थानिक स्थितींचा वापर करा.